The Valuation Of Executive Stock Options In Einem Intensitätsbasierten Framework

Die Bewertung von Executive Stock Options in einem Intensitäts-Framework Transkription 1 European Finance Review 4. Kluwer Academic Publishers. Gedruckt in den Niederlanden. 211 Die Bewertung von Aktienoptionen in einem Intensitätsrahmen PETER CARR 1 und VADIM LINETSKY 2 1 Banc of America-Wertpapiere, Equity Financial Products, 9 West 57th Street, 4. Stock, New York, NY Department of Industrial Engineering and Management Sciences, McCormick School of Engineering und Angewandte Wissenschaften, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL Abstract. Dieses Papier präsentiert ein allgemeines Intensitäts-basiertes Rahmenwerk zur Bewertung von Führungspositionen (ESOs). Es baut auf den jüngsten Fortschritten in der Kreditrisikomodellierung Arena. Die frühe Ausübung oder Verfall aufgrund freiwilligen oder unfreiwilligen Arbeitsverhältnisses und der frühen Ausübung aufgrund des Liquiditäts - oder Diversifizierungsbedarfs der Exekutive werden als exogener Punktprozess mit zufälliger, vom Aktienkurs abhängiger Intensität modelliert. Es werden zwei analytisch bedingte Spezifikationen angegeben, bei denen der ESO-Wert, die erwartete Ausübungszeit oder der Verfall sowie der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls in geschlossener Form berechnet werden. Key Worte: Brownian Bereich, frühe Ausübung, Executive-Aktienoptionen, Feynman-Kac Formel, Verwirkung, Laplace-Transformation, Beschäftigungszeit, Punktprozesse mit zufälliger Intensität. JEL-Klassifizierung: G13, G39, M Einleitung Vorstandsaktienoptionen (ESOs) stellen derzeit einen beträchtlichen Bruchteil vieler Unternehmen im Gesamtvergütungsaufwand dar. Es ist wichtig, die Kosten dieser Optionen für die Aktionäre sowohl für die Rechnungslegung als auch für die Führungskontrolle genau zu beurteilen (vgl. Carpenter, 1998, Foster et al., 1991, Jennergren und Naslund, 1993). Seit 1995 hat das Financial Accounting Standards Board (FASB) SFAS 123 beauftragt, eine Schätzung der Kosten der ESO-Stipendien in einer Fußnote zu veröffentlichen. Obwohl es nicht erforderlich ist, ist die empfohlene Bewertungsmethode, die Black Scholes European Call Pricing Formel zu verwenden. Die in dieser Formel verwendete vorgeschlagene Fälligkeit ist die erwartete Nutzungsdauer, obwohl die maximale Lebensdauer (typischerweise 1 Jahre bei Gewährung) ebenfalls verwendet werden kann. Rubinstein (1995) argumentiert aus theoretischen Gründen, dass jede Methode dazu neigen, Überbewertung zu verursachen. Ebenso sind Marquardt (1999) empir - Wir sind dankbar für die Berechnungshilfe von Dmitry Davydov und für Kommentare von Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe und Carol Marqurdt. Sie sind nicht verantwortlich für Fehler. 2 212 PETER CARR UND VADIM LINETSKY stellt fest, dass beide Methoden die wirtschaftlichen Kosten für die Anteilseigner von emittierenden ESOs überbewerten. ESOs sind typischerweise längst veraltete amerikanische Anrufe, die sich von Standardoptionen unterscheiden, da sie eine anfängliche Wartezeit haben, während der Übung proscribed ist. Obwohl es einfach ist, den Wert und die optimale Ausübungspolitik für ESOs in einem reibungslosen Markt numerisch zu bestimmen, erschweren bestimmte institutionelle Reibungen die Bestimmung der optimalen Ausübungspolitik für ESOs. Erstens kann der Inhaber eines ESO seine Option nicht verkaufen oder übertragen. Darüber hinaus kann der Inhaber sein Gespräch nicht abgesichert werden, da kurze Positionen in der Aktie des Unternehmens verboten sind. Demgegenüber ist es dem Emittenten gestattet, seine Verbindlichkeit zu übertragen oder seine Verpflichtung zu sichern. Im Allgemeinen treibt diese Asymmetrie einen Keil zwischen dem Wert an den Empfänger und dem Wert an den Emittenten an. Beide Werte werden durch die Ausübungspolitik der Führungskräfte beeinflusst, die im Allgemeinen sowohl durch öffentlich zugängliche Informationen wie Aktienkurse als auch durch ausführungsspezifische Informationen wie persönliche Portfoliozusammensetzung, Risikoaversion und den Liquiditätsbedarf der Führungskräfte bestimmt wird. Die optimale Ausübungspolitik, die von der Exekutive angewendet wird, muss nicht mit der optimalen Ausübungspolitik übereinstimmen, die in Abwesenheit dieser Reibungen seit der frühen Ausübung vorherrscht, kann für Diversifizierungs - oder Liquiditätsgründe optimal sein, auch wenn der Basiswert keine Dividenden ausschüttet. Ein zweiter Grund, warum die exekutive optimale Ausübungspolitik von der perfekten Marktpolitik abweichen kann, ist, dass die Exekutive die Firma entweder freiwillig oder unfreiwillig verlassen kann, während die Option lebendig ist. In diesem Fall verliert die Exekutive ihre Optionen, wenn sie out-of-the-money sind, und müssen früh ausüben, wenn sie in-the-money sind. Zwei allgemeine Ansätze wurden für die Modellierung von Entscheidungen über die Exekutivausübung und für die Bewertung der Kosten von ESOs an das Unternehmen angenommen. Im ersten Ansatz geht man davon aus, dass die Exekutive die Option nach einer Politik ausübt, die ihren erwarteten Nutzen unter Hedgingeinschränkungen maximiert (Huddart, 1994, Marcus und Kulatilaka, 1994, Detemple und Sundaresan, 1998). Bei diesem Ansatz muss man explizit solche nicht beobachtbaren Variablen wie die Risikoaversion der Exekutive, seinen äußeren Reichtum und den potenziellen Gewinn aus der Veränderung seiner Beschäftigung modellieren. In dem alternativen Ansatz modelliert man eine frühe Übung als exogene Stoppzeit, z. B. Die erste Sprungzeit eines exogenen Poisson-Prozesses, wie bei Jennergren und Naslund (1993). Der Poisson-Prozess dient als Proxy für alles, was die Exekutive dazu veranlasst, die Option frühzeitig auszuüben, einschließlich des Wunsches nach Diversifizierung oder Liquidität und freiwilliger oder unfreiwilliger Kündigung. Im Gegensatz zum Utility-Maximierungsansatz ist die Hazardrate bzw. - intensität dieses exogenen Poisson-Prozesses der einzige Parameter im Modell, der aus empirischen Daten abgeschätzt werden muss. Carpenter (1998) zeigt, dass dieses zweite reduzierte Form-Intensitätsmodell in empirischen Tests der beiden konkurrierenden ESO-Bewertungsmodelle bei der Vorhersage der tatsächlichen Trainingsmuster für eine Stichprobe ebenso gut oder besser abläuft wie das kompliziertere Strukturmodell 4 Unternehmen. Diese Dichotomie bei der Modellierung der Exekutive s Ausübung Entscheidung parallel zu der Modellierung von Standard-Ereignisse, die für die Bewertung der Kreditrisikos Corporate Schuld. Die 3 EXECUTIVE STOCKOPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 213 Literatur zur Preissetzung von Kreditrisikoschulden können in zwei Klassen unterteilt werden: strukturelle Modelle und reduzierte Intensitätsmodelle. Die erste Klasse von Modellen, die auf Black und Scholes (1973) und Merton (1974) zurückgeht, modelliert das Standardereignis strukturell als Utility-Maximierungsentscheidung der Anteilseigner (siehe Leland (1994) und Leland und Toft (1996)). Die zweite Klasse von Modellen sind reduzierte Formmodelle, die exogen die Vorgabe festlegen, wie sie bei der ersten Sprungzeit eines Punktprozesses mit zufälliger Intensität auftreten (Standard-Hazard-Rate) (siehe Duffie et al., 1996 Duffie und Singleton, 1998 Jarrow and Turnbull, 1995) Jarrow et al., 1996, Lando 1998, Madan und Unal, 1996, 1998). Davydov et al. (1998) Value Credit risky Schulden in der Intensität-basierten Rahmen uisng ein Ansatz ähnlich dem unsrigen. Bei allen derartigen Modellen wird die Intensität des Punktprozesses auf empirische Daten kalibriert. Aufgrund der relativen Einfachheit der Kalibrierung und der empirischen Erprobung gewinnt die reduzierte Modellierungsphilosophie an den Kreditmärkten zunehmend an Popularität. Der Beitrag dieser Arbeit ist zweifach. Erstens entwickeln wir ein allgemeines stochastisches Intensitäts-Framework für die Bewertung von ESOs, bei dem die frühe Ausübungs - oder Verfallintensität h t h (s t, t) von dem zugrunde liegenden Aktienkurs und - zeitpunkt abhängt. Zweitens, schlagen wir zwei einfache analytisch traktierbare Spezifikationen von Hazard-Rate-basierte Modelle von ESOs. Im ersten Beispiel wird die Intensität folgendermaßen spezifiziert (unter der Annahme, dass die ESO angewendet wird): ht lambda f lambda e 1, (1) wobei S t der zugrundeliegende Aktienkurs, K der ESO-Basispreis, lambda f ist Konstante Intensität der frühen Ausübung oder Verfall aufgrund der exogenen freiwilligen oder unfreiwilligen Beschäftigung Kündigung (angenommen unabhängig vom Aktienkurs) und Lambda e 1 ist die konstante Intensität der frühen Ausübung aufgrund der Exekutive s exogenen Wunsch nach Liquidität oder Diversifizierung positiv angenommen Und konstant, wenn die ESO in-the-money ist und ansonsten Null ist (1 A ist die Indikatorfunktion des Ereignisses A e in Lambda e steht für Übung). Somit ist die Intensität des Verfalls, wenn die Aktie aus dem Geld ist, lambda f (f steht für Verzug), während die Gesamtintensität der frühen Ausübung, wenn die Option im Geld ist, lambda f lambda e ist. Die integrierte Gefährdung hängt linear von der Besatzungszeit des zugrundeliegenden Bestandes über dem Streik K ab (dh, wenn die ESO im Geld ist) und das entsprechende ESO-Bewertungsmodell stützt sich auf einige neuere Ergebnisse von Berufszeit-Derivaten (siehe Akahori, 1995 Chesney Et al., 1997). Deterios et al., 1995). In dem zweiten analytisch behandelbaren Beispiel wird die Intensität folgendermaßen spezifiziert (unter der Annahme, daß die ESO gegeben ist): h t lambda f lambda e (ln S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR UND VADIM LINETSKY In diesem Fall ist die erste Kündigungsfrist noch unabhängig vom Aktienkurs, 1 aber die zweite Kündigungsfrist aufgrund des Wunsches nach Liquidität oder Diversifikation ist nun eine monoton wachsende Funktion des Basiswerts Aktienkurs, wenn die ESO in-the-money und Null ist sonst (x: x1 bezeichnet den positiven Teil von x). Die integrierte Gefährdung hängt linear vom sogenannten Brownschen Gebiet ab, und das entsprechende ESO-Bewertungsmodell stützt sich auf die Ergebnisse von Davydov, Linetsky und Lotz (1998) auf Flächenoptionen. Der Rest dieses Aufsatzes ist wie folgt organisiert. In Abschnitt 2 betrachten wir einen allgemeinen stochastischen Intensitätsrahmen für die Bewertung von ESOs. In Abschnitt 3 lösen wir das Modell mit der Intensitätsangabe nach (1). In Abschnitt 4 lösen wir das Modell mit der Intensitätsangabe (2). Numerische Beispiele finden Sie in Abschnitt 5. Abschnitt 6 schließt das Papier. 2. Eine allgemeine Intensitäts-basierte Formulierung Wir nehmen reibungslose Märkte, keine Dividenden, eine konstante risikofreie Rate r an und der zugrundeliegende Aktienkurs folgt dem folgenden Diffusionsprozess unter der Risikoneutralwahrscheinlichkeitsmessung Q: ds t rs t dt sigma (st, t ), Wobei Wt Q eine standardmßige Brownsche Bewegung ist, beginnt der Prozeß bei SS zum Zeitpunkt t, und die lokale Volatilitätsfunktion sigma (s, t) wird für alle S stetig und streng positiv angenommen ,) Und beschränkt als S (für alle t). Als erste Sprungzeit eines Punktprozesses mit zufälliger Intensität (Hazard rate) h t, die in der Regel eine Funktion der Zeit und des zugrunde liegenden Aktienkurses h t h (s t, t) ist, kann die Zeit der vorzeitigen Ausübung oder Verfall T betrachtet werden. Dann ist die Wahrscheinlichkeit unter Q von einer frühen Ausübung bis zum Zeitpunkt t für einen gegebenen Aktienkursweg (siehe Bremaud (198) und Lando (1998) für Einzelheiten über Punktprozesse mit zufälliger Intensität): und Q (Tgtt) eth (su (3) Q (Tgtt) EQ, Seth (su, u) du, wobei die Erwartung in Bezug auf die risikoneutrale Maßnahme erfüllt ist Q. Verleihung des ESO-Stipendiums und des TV - Dem ESO-Ausübungstermin, dem Wert bei t, T eines nicht ausgeübten ESO mit Ausübungspreis K und Laufzeit T ergibt sich aus der risikoneutralen Erwartung: 1 Im Allgemeinen könnte man auch die Verfallintensität lambda fa-Funktion des Aktienkursarguments machen Dass die Exekutive eher aus dem Unternehmen ausscheiden wird, wenn der Aktienkurs relativ zum Basispreis seiner ESOs niedrig ist. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß Lambda f konstant ist. 5 EXECUTIVE STOCK-OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 215 C (S, t K, T) (TT) EQ t, s 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) Eine Stoppzeit, die als erste Sprungzeit des Punktprozesses mit der Intensität ht angenommen wird, und der Index t, s im Erwartungsoperator E t, s bedeutet, dass der Aktienkurs S zum Zeitpunkt t ist. Es ist anzumerken, dass wir nach Jennergren und Naslund (1993) davon ausgehen, dass das Sprungrisiko unpreislich ist, d. h. dass es durch die Ausgabe eines diversifizierten Portfolios von ESOs diversifiziert werden kann. Da viele Unternehmen mehrere ESOs ausgeben, sehen wir dies in der Praxis als vernünftige Annahme. Der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung (4) ist der Barwert der Optionsauszahlung bei Fälligkeit, die nicht frühzeitig erfolgt. Die zweite Laufzeit ist der Barwert der Auszahlung zum Zeitpunkt der Ausübung, da die Option frühzeitig ausgeübt wird. Diese Zerlegung des Wertes ist analog zu einer Zerlegung des Wertes für verzugsfähige Wertpapiere. Der erste Term in (4) entspricht dem Barwert der versprochenen Zahlung ohne Vorbehalt, während der zweite Term der Barwert der zum Zeitpunkt des Ausfalls gezahlten Rückzahlungssumme ist, falls der Verzug vor der Fälligkeit auftritt. Aufgrund der Schlüsselbeziehung (3) kann die Erwartung in der Form: e C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s max (tv, t) er (ut) EQ t umgeschrieben werden , Sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Nach dem Feynman-Kac-Theorem (siehe zB Karatzas und Shreve (1992)) ist der ESO-Wert C (S, t K, T) zum Zeitpunkt t, t lt T die einzigartige Lösung für das Cauchy - (5) C (S, TK, T) (SK) (1) S (t) . (6) Die finanzielle Bedeutung des zweitletzten Gliedes auf der linken Seite von Gleichung (5) besteht darin, daß über eine unendlich lange Zeitspanne dt eine Wahrscheinlichkeit ht dt der Exekutive besteht, ) Im Austausch, wenn die ESO ist (t gtt v) und nichts anderes (die Option verfallen). Neben dem ESO-Wert sind wir auch an der erwarteten Zeit der Ausübung oder Verfall (der erwarteten ESO-Fälligkeit) interessiert: T TE P, S 1 EP, S 1 T, (7) 2 Beispielsweise untersucht Marquardt (1999) 58 Fortune 1 Unternehmen über einen Zeitraum von 21 Jahren und findet durchschnittlich 17 Zuschüsse pro Unternehmen. 6 216 PETER CARR UND VADIM LINETSKY und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Beachten Sie, dass im Unterschied zur ESO-Wertberechnung, die unter der risikofreien Maßnahme Q durchgeführt wird, diese Mengen unter der statistischen Kennzahl P berechnet werden, wobei: ds t ms t dt sigma (st, t) st dw P T, SS und m der erwartete jährliche Prozentsatz der Rendite der Aktie in der realen Welt ist (m wird als konstant angenommen). Unter Verwendung der Tastenbeziehung (3) (betrachtet unter P) ist es leicht zu sehen, daß sich die Gleichungen (7) - (8) auf: reduzieren und TP (Tgtt) TP (TT) tdt P (Tgtt) dt teth Su, u) du dt, (9) EP, SSTE, S e PTT h (st, t) dt STE, S e P th (su, u) du h (st, t) st dt. (1) Carpenter (1998), Huddart und Lang (1996) und Marquardt (1999) geben empirisch erwartete Ausübungszeiten und durchschnittliche Aktienkurse zum Zeitpunkt der Ausübung ihrer Proben an. Anhand der Werte der Parameter m, sigma, S, tv und t kann die Ausübung bzw. Verfallintensität ht auf die empirischen Daten unter Verwendung der Gleichungen (9) und (1) kalibriert werden. 3. Die Besetzungszeit-Spezifikation: Ein Schrittoptionsmodell für die Bewertung von ESOs In diesem Abschnitt beschränken wir die im vorigen Abschnitt erläuterte Einrichtung, um explizite Lösungen für die interessierenden Mengen zu erhalten. Wir nehmen eine konstante Volatilität an, d. H. Sigma (s, t) sigma, und daß die Option gegeben ist, d. H. Tv (wir erstrecken uns auf den Fall von Optionen, die am Ende dieses Abschnitts noch nicht vorhanden sind). Wir betrachten auch eine besonders einfache Vorgabe für die Ausübungs - oder Verwirkungsintensität: ht lambda f lambda e 1, (11) wobei S t der zugrunde liegende Aktienkurs, K der ESO-Basispreis, lambda f die konstante Intensität der frühen Ausübung oder Verfall aufgrund des exogenen freiwilligen oder unfreiwilligen Arbeitsverhältnisses (unabhängig vom Aktienkurs angenommen), 7 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 217 und Lambda e 1 ist die konstante Intensität der frühen Ausübung aufgrund der Exekutive Der Wunsch nach Liquidität oder Diversifikation als positiv und konstant angenommen, wenn die ESO in-the-money und sonst null ist. Unter diesen Annahmen vereinfacht sich der anfängliche (dh t) ESO-Wert (4) zu 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda etau K (T) (STK) (Lambda (T) (S t K) dt, (12) wobei tau K (t) t 1 du die Besetzungszeit des In-the-Gelds ist Region bis zur Zeit t. Diese Erwartung kann als ein Portfolio von auf - und ausgehenden geometrischen Stufenoptionen mit Knock-out-Rate Lambda e und Knock-out-Barriere gleich dem Streik ausgedrückt werden: C (SK, T lambda f, lambda e) e lambda f TC lambda e (S t, k, k) der Wert eines Aufwärts - / Abwärts - (Siehe Linetsky (1998, 1999)): C Lambda e (S t, k, k) e. Die Ergebnisse sind in Tabelle 1 zusammengefaßt Rt EQ, S e lambda etau K (t) (S t K). (14) Die Auszahlung bei Fälligkeit t eines geometrischen Stufenaufrufs kann als die eines Standardaufrufs interpretiert werden, mit der Ausnahme, dass die zugrundeliegende Aktie fiktiv pfadabhängig ist, da sie von der Besetzungszeit über dem Streik abhängt: e lambdatau K (t ). Mit anderen Worten verliert ein geometrischer Schrittaufruf einen gegebenen Bruchteil seiner fiktiven pro Zeiteinheit über der Barriere. Geben Sie die folgende Notation ein: x: 1 sigma ln (SK), nu: 1 sigma (r sigma 2 Dann wird die Erwartung in Gleichung (14) auf: 2), xi: r nu2 2. (15) C lambda e (S (Nu, x, t), (16) 3 Es sei angemerkt, dass die konstante Abweichungsintensität lambda f zu der Abzinsungsrate addiert wird In Gleichung (12). Intuitiv verringert die Möglichkeit der Verfallung den Wert der ESO auf die gleiche Weise, wie die Möglichkeit des Ausfalls den Wert einer verzugsfähigen Anleihe senkt, und die Intensität des Verfalls wird dem risikolosen Zinssatz als Credit-Spread hinzugefügt. (17), wobei die Erwartung E, x an die Brownsche Bewegung gebunden ist, und zwar in der Form von rho (nu k, x, t): E, xe nuw t rho (t) 1, (17) PETER CARR UND VADIM LINETSKY W t ausgehend von x bei t und (t) t 1 du die Besetzungszeit der negativen Halblinie (,) bis zur Zeit t ist. 4 Diese Erwartung wird in geschlossener Form in Linetsky (1999) berechnet. Für die Bequemlichkeit des Lesers ist die explizite analytische Form der Funktion in Anhang A gegeben. Somit liefern die Gleichungen (13) und (16) eine einfache analytische Lösung für den ESO-Wert gemäß der Spezifikation (11) für die Ausübung und Verfallintensität . Die erwartete Zeit der Ausübung oder des Verfalls (9) unter dieser Spezifikation ist: T e (lambda f lambda e nup 2 2) t nu P x lambdae (nu P, x, t) dt, (18) wobei (erinnern Sie sich, dass T und ST werden unter dem statistischen Maß P berechnet: nu P: 1 sigma (m sigma 2 2). (19) Der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall ist: ST e (Lambda f Lambda e nu 2 P 2) T nu P x K lambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f lambda e Nu 2 P 2) t nu P x lambda f lambdae (nu P sigma, x, t) lambda e lambdae (nu P sigma, x, t) dt. (2) Nun betrachten wir den Fall t v gt, d. h. die Option ist noch nicht vorhanden. Angenommen, S v S (t v) ist der Aktienkurs am Vesting-Tag. Der ESO-Wert am Vesting-Datum tv wird durch C (SvK, TtvLambda f, Lambdae) gegeben, die durch Gleichung (13) definiert ist (beachten Sie, dass die Zeit bis zur Fälligkeit gleich Ttv ist, also müssen wir ersetzen TT tv in Gleichung (13)). Dann wird der ESO-Wert zum Zeitpunkt t berechnet, indem man die Erwartung: C (S, K, tv, t lambda f, lambda e) e (rlambda f) tv C (S v K, T tv lambda f, lambda e) p berechnet Für den Hintergrund der Besatzungszeiten und anderer Funktionalitäten der Brownschen Bewegungs - und Diffusionsprozesse sowie der Feynman-Kac-Berechnungen ihrer Gesetze siehe Karatzas und Shreve (Sv, 1992), Borodin und Salminen (1996) und Revuz und Yor (1994). 9 EXECUTIVE AKTIENOPTIONEN IN intensitätsorientierten Rahmen 219, wobei p Q die (lognormal) Wahrscheinlichkeitsdichte der Aktienkurs am Ausübungsdatum, angesichts der bekannten Aktienkurs heute (zum Zeitpunkt t): (S v, tv S,) exp S microtv, Mikro r Sigma 2 S v 2pisigma2 tv 2Sigma 2 tv 2. (22) 4. die Brownsche Bereich Spezifikation: Ein Bereich Optionsmodell für Valuing ENO Wie im vorherigen Abschnitt haben wir zunächst davon ausgehen, dass die Option bereits unverfallbar, Dh Fernsehgerät. Unter der Besetzungszeitangabe ist die Ausübungs - oder Verfallintensität über dem Streik konstant. Eine analytisch handhabbar Alternative ist: ()) ht Lambda f Lambda e K In diesem Fall wird der erste Term aufgrund freiwilligen oder unfreiwilligen Beendigung des Arbeitsverhältnisses ist noch unabhängig (ln S t ln K) St Lambda f Lambda e (ln (23.) Aber der zweite Term aufgrund des Wunsches nach Liquidität oder Diversifikation ist nun eine zunehmende Funktion der Geldbuße S t K, wenn die ESO in-the-money ist und ansonsten Null ist (x bezeichnet den positiven Teil von x). Eine ähnliche Spezifikation für die Standard-Hazard Rate wurde von Davydov, Linetsky und Lotz (1998) verwendet, um kreditrisikoorientierte Unternehmensschulden zu modellieren. Der ESO-Wert (4) unter dieser Spezifikation hat die Form:) C (SK, T lambda f, Lambda e) e (rLAMBDA f) TEQ, S exp (Lambda e (ln S t ln K) dt (STK) t) e (rLAMBDA f) t EQ, S exp (Lambda e (LNS u lNK) du () St (24) K Um diese Erwartung zu berechnen, stellen wir zunächst fest, dass der Aktienkursprozess wie folgt dargestellt werden kann: S t Ke sigma (nutw t), (25) wobei W t ist Eine Brownsche Bewegung, die bei x (definiert in Gleichung (15)) zur Zeit t beginnt. Dann ergibt sich aus Girsanovs Satz: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (w T x) nu2 2 T sigmalambda e W t dt (Ke sigmaw TK) T E, xe nu (wtx) nu2 2 t sigmalambda te W u d lambda f sigmalambda e W t 10 22 PETER CARR UND VADIM LINETSKY (Ke sigmaw t K) dt e (xilambda f) T nux K sigmalambdae (nu sigma, (Nu, x, t) sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambdae (nu, x, t) e nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (nu sigma, sigmalambda e nu sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambda e dt, (26), nu, wo wir die folgende Notation eingeführt: alpha (nu k, x, t): E, xe nuw t alphaA t 1, (27) A t : T W u du. (28) Die Funktion A t wird bis zur Zeit t als Brown'sche Fläche bezeichnet (siehe Perman und Wellner, 1996). Sie ist gleich dem (zufälligen) Bereich unter dem positiven Teil eines Brownschen Probenpfads von Null bis Zeit t. alpha (nu k, x, t) e nuy E, xe alphaA t W t dy KKE nuy L 1 t: Die Erwartung in Gleichung (27) durch Davydov, Linetsky und Lotz (1998) über die Feynman-Kac Theorem berechnet Dy, (29) wobei die Erwartung innerhalb des Integrals als die inverse Laplace-Transformation in s des Resolventkerns G alpha (x, ys) ausgedrückt wird. Seine analytische Form ist in Anhang B angegeben. 5 Die erwartete Zeit der Ausübung oder des Verfalls nach dieser Spezifikation ist: T e (lambda f nup 2 2) t nu P x sigmalambdae (nu P, x, t) dt, (3) Nu P ist in Gleichung (19) gegeben. Der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall ist: 5 Die Berechnung dieser Funktionalität steht im engen Zusammenhang mit den Berechnungen von Geman und Yor (1993) für asiatische Optionen und Geman und Yor (1996) für Optionen mit doppelter Barriere Über die Feynman-Kac-Formel. 11 EXECUTIVE STOCKOPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 221 ST e (Lambda f nup 2 2) T nu P x K sigmalambdae (nu P sigma, x, t) K e (Lambda f nup 2 2) t nu P x lambda f Sigmalambdae (nu P sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P sigma, x, t) nu P dt. (31) Der Fall t v gt, d. h. die Option ist noch nicht vorhanden, wird ähnlich wie die Gleichung (21) behandelt. 5. Numerische Beispiele Zur Veranschaulichung unserer Modelle betrachten wir eine zehnjährige ESO, die at-the-money 6 (S K 1) gewährt wurde und unverzüglich (t v) wahrgenommen wurde. Wir gehen davon aus, dass der Basiswert eine Volatilität von 3 per annum aufweist, keine Dividenden ausgibt, der risikolose Zinssatz 5 pro Jahr beträgt und der erwartete annualisierte Prozentsatz der Rendite der Aktie im Rahmen der statistischen Kennzahl P 15 pro Jahr beträgt (erinnern daran, Erwartete Zeit der Ausübung oder Verfall und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall werden unter der statistischen Ermittlung berechnet). Die Tabellen I und II geben den ESO-Wert zum Gewährungszeitpunkt, den erwarteten Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall sowie den erwarteten Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall als Funktionen der Parameter des Punktprozesses lambda f und lambda e unter der Besetzung an (11) und der Brownschen Bereichsspezifikation (23). Für lambda f lambda e entspricht der ESO-Wert dem zehnjährigen Black-Scholes-Wert, die erwartete Ausübungszeit der ESO-Laufzeit (zehn Jahre) und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung gleich e 1m S (keine frühe Ausübung oder Verfall). Wenn die Zinssätze lambda f und lambda e zunehmen, sinken der ESO-Wert, die erwartete Ausübungs - oder Verfallzeit und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls. Bei T und S T kann man unsere Modelle kalibrieren, indem man die Intensitätsparameter lambda f und lambda e und die ESOs mit diesen Parameterwerten ausgibt. Carpenter (1998) berichtet, dass durchschnittliche Ausübungszeiten für 1 Jahr ESOs in ihrer Stichprobe etwa 5,8 Jahre sind, mit dem durchschnittlichen Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung von etwa 2,8 mal der ESO-Basispreis. Marquardt (1999), der eine andere Stichprobe von ESO-Bewilligungsfirmen untersucht, berichtet, dass die durchschnittlichen Ausübungszeiten für 1 Jahr ESO in ihrer Stichprobe etwa 5,6 Jahre betragen, wobei der durchschnittliche Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung von etwa dem 2,2fachen des ESO-Basispreises liegt . So liegen empirisch typische Trainingszeiten im fünf bis sechsjährigen Bereich, wobei der Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung des zwei - bis dreifachen ESO-Streiks liegt. Man betrachte ein Beispiel des Arbeitszeitmodells mit Lambda f 8 pro Jahr und Lambda e 12 pro Jahr. Die erwartete Ausübungszeit für diese Intensitäten beträgt 4,99 Jahre, wobei der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung des 2,31fachen der ESO 6 Marquardt (1999) festgestellt hat, dass 85 der 987 ESOs in ihrer Stichprobe zehn Jahre bis zur Endfälligkeit ausgegeben wurden. Sie gibt an, dass die meisten mit Streik gleich dem Aktienkurs ausgegeben werden. 12 222 PETER CARR UND VADIM LINETSKY Tabelle I. Berufszeit Modell. ESO-Werte, erwartete Zeiten der Ausübung oder Verfall und erwartete Aktienkurse zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall als Funktionen der Intensitätsparameter lambda f und lambda e. Parameter: K 1, S 1, T 1 Jahre, sigma .3, r .5, m .15, tv, keine Dividenden lambda e Lambda f ESO - Wert Erwartete Ausübungs - oder Verfallsdauer (Jahre) Erwarteter Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verzug im Verhältnis zum Streik 13 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 223 Tabelle II. Bereich Modell. ESO-Werte, erwartete Zeiten der Ausübung oder Verfall und erwartete Aktienkurse zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall als Funktionen der Intensitätsparameter lambda f und lambda e. Parameter: K 1, S 1, T 1 Jahre, sigma .3, r .5, m .15, tv, keine Dividenden lambda e Lambda f ESO - Wert Erwartete Ausübungs - oder Verfallsdauer (Jahre) Erwarteter Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall im Verhältnis zum Streik 14 224 PETER CARR UND VADIM LINETSKY Streik. Der ESO-Wert, der diesen Parametern entspricht, ist im Gegensatz dazu die FASB-empfohlene Bewertungsmethode, die Black-Scholes-European-Call-Pricing-Formel zu verwenden. Die in dieser Formel verwendete Fälligkeit kann entweder das Fälligkeitsdatum (in diesem Fall zehn Jahre) oder eine Schätzung der erwarteten Laufzeit (in diesem Fall 4,99 Jahre) sein. Der entsprechende Black-Scholes-Wert eines zehnjährigen Aufrufs ist 56,38 höher als der von unserem Modell vorhergesagte Wert. Der Black-Scholes-Wert eines 4,99-Jahres-Aufrufs ist 35,92, 6,87 höher als der von unserem Modell vorhergesagte Wert. Somit sind die nach dem intensitätsbasierten Modell berechneten ESO-Werte signifikant niedriger als die entsprechenden Black-Scholes-Werte, die das suboptimale Verhalten der Exekutive berücksichtigen. Dies hat erhebliche Auswirkungen auf die Rechnungslegung. Wenn man ESOs für Rechnungslegungszwecke mit dem Black-Scholes-Modell, wie von FASB empfohlen, zu bewerten, würde man deutlich überschätzen ihre wahren Kosten für die Aktionäre und ungerecht bestraft Unternehmen, die ESOs. 6. Fazit und Orientierung für die zukünftige Forschung Der Beitrag dieser Arbeit ist zweifach. Zunächst entwickeln wir ein allgemeines stochastisches Intensitäts-Framework für die Bewertung von Aktienoptionen. Zweitens schlagen wir zwei analytisch ableitbare Spezifikationen für die Ausübung und Verfallintensität vor. Beide Vorgaben haben die Form (unter der Annahme, dass die ESO in Anspruch genommen wird): lambda f lambda e phi (st) 1, wobei lambda f die konstante Poisson-Intensität der frühen Ausübung oder des Verfalls aufgrund eines frühzeitigen freiwilligen oder unfreiwilligen Arbeitsverhältnisses und Lambda e phi ist (St) 1 ist die frühe Ausübungsintensität aufgrund des Wunsches der Führungskraft nach Liquidität oder Diversifikation. Diese Intensität ist nur dann positiv, wenn die Option in-the-money ist. Phi (s) 1. Dies führt zu dem analytisch tragbaren Besetzungszeitmodell für ESOs, bei dem die Wahrscheinlichkeit einer frühen Ausübung aufgrund des Liquiditäts - oder Diversifizierungsbedarfs der Führungskraft von der Besetzungszeit der In-Slayer-Region abhängt . Unter der zweiten Spezifikation ist phi (s) ln S ln K, was zu dem analytisch lösbaren Brown'schen Flächenmodell führt. Beide Spezifikationen spiegeln die Tatsache wider, dass es zwei unterschiedliche ökonomische Faktoren gibt, die die Executivausübungsentscheidung beeinflussen. Dies ist der Wunsch der Führungskraft nach Liquidität oder Diversifikation, die nur dann eine Ausübung auslöst, wenn die Option im In-the-money besteht und die Möglichkeit einer freiwilligen oder unfreiwilligen Kündigung besteht (dies ist ebenso wahrscheinlich, wenn die Option in - oder out-of ist - das Geld und wird als unabhängig vom Aktienkurs angenommen). Wir behaupten, dass unsere Spezifikation mit zwei separaten Intensitätsparametern eine umfassendere Beschreibung der gegenwärtigen wirtschaftlichen Situation vorstellt, als die bisherige Arbeit 7, die eine frühe Ausübung und Verwirkung aus einem Poisson-Prozess mit einem einzigen konstanten Intensitätsparameter unabhängig vom Aktienkurs modellierte. 7 Siehe Shimko (199) und Jennergen und Naslund (1993) für den Spezialfall unseres Modells mit Lambda e. 15 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 225 Unsere Ergebnisse können auf verschiedene Weise erweitert werden. Erstens, in der Praxis Unternehmen manchmal zurücksetzen die Bedingungen der zuvor ausgestellten ESOs, vor allem, wenn sinkende Aktienkurse haben die Option tiefe Out-of-the-money bewegt. In einigen interessanten neueren Arbeiten entwickeln Brenner, Sundaram und Yermack (1998) ein Modell zur Bewertung von ESOs, das für die Möglichkeit einer Neubewertung verantwortlich ist. Bei der Neubewertung wird ein neuer Basispreis festgelegt, wenn der Aktienkurs deutlich sinkt. 8 Wenn die Option neu bewertet wird, wird der neue Basispreis angegeben (in der Praxis wird der neue Basispreis oft gleich dem aktuellen Aktienkurs gesetzt, d. h. die Option wird am Geld umgeschrieben). Brenner, Sundaram und Yermack (1998) weisen darauf hin, dass ein ESO, dessen Ausübungspreis K sich zum ersten Mal, wenn der Aktienkurs unter eine vorgegebene Barriere B sinkt, nicht berücksichtigt werden kann, wenn er die Möglichkeit einer vorzeitigen Ausübung oder eines Verfalls ignoriert Portfolio eines Down-and-Call mit dem Ausübungspreis K (Old Strike) und einem Down-and-In-Call mit dem Streik K (neuer Streik). Dann werden die Standard-Barrier-Optionsbewertungsformeln verwendet, um die ESO zu bewerten (siehe beispielsweise Rubinstein und Reiner (1991)). Unsere Vorgehensweise bei der Modellierung von frühzeitiger Ausübung und Verwirkung kann auf ESOs erweitert werden, die auf diese Weise einer Neubewertung unterliegen, indem wir eine niedrigere Barriere für unsere Analyse hinzufügen. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 12 C 1 t 32 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 12 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 23 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 23 2s, y 3 (2alpha) 23 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 13 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 13 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y, x s), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 13 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. 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It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. If you experience problems downloading a file, check if you have the proper application to view it first. In case of further problems read the IDEAS help page. Note that these files are not on the IDEAS site. Please be patient as the files may be large. As the access to this document is restricted, you may want to look for a different version under Related research (further below) or search for a different version of it. Article provided by European Finance Association in its journal Review of Finance . Volume (Year): 4 (2000) Issue (Month): 3 () Pages: 211-230 Find related papers by JEL classification: G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing Futures Pricing G39 - Financial Economics - - Corporate Finance and Governance - - - Other M41 - Business Administration and Business Economics Marketing Accounting Personnel Economics - - Accounting - - - Accounting No references listed on IDEAS You can help add them by filling out this form. Citations are extracted by the CitEc Project. subscribe to its RSS feed for this item. This item is not listed on Wikipedia, on a reading list or among the top items on IDEAS. 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